The Imitation Game: la potenza dei numeri primi

Avete visto The Imitation Game? Bello, m'è piaciuto.

Però, oh, non viene raccontata la parte più interessante della storia:

Perchè la matematica è stata così importante per le sorti della seconda guerra mondiale (e non solo...)?

Dietro tutto ciò ci sono i numeri primi.

E...(adesso mi metto gli occhiali da sole tipo Morpheus):

E Se vi dicessi...

...Che se non fossero stati studiati i numeri primi forse non sarebbe stato inventato il computer?

...Che la seconda guerra mondiale sarebbe finita diversamente?

...Che oggi forse non esisterebbe un metodo sicuro per utilizzare la carta di credito?

Se volete scoprire perchè, prendete la pillola rossa e seguitemi nella Tana del Bianconiglio...

(Se non l'avete capita fustigatevi, pentitevi e correte a guardare Matrix)

Cap. 1: I Numeri Primi

Sappiamo tutti cosa sono: sono gli unici numeri che non hanno divisori (a parte loro stessi e l'unità).

Perchè sono così importanti?

Beh, ogni numero naturale esistente (fino a infinito, nè!) può essere espresso come il prodotto di numeri primi: ogni numero può essere scomposto in fattori primi.*

Secondo il teorema fondamentale dell'aritmetica, questo tipo di operazione è unica, ossia non esiste un altro modo di "spacchettare un numero nei suoi elementi più semplici", se non scomponendolo in un prodotto di numeri primi.

Pertanto si può dire che i numeri primi sono gli "atomi" della matematica.

Carina 'sta cosa, vero? :-)

Questo è il motivo per cui è più di 2000 anni che questi numeri affascinano ed ossessionano i più brillanti matematici della storia.

Cap. 2: L'ossessione

Già gli antichi Greci avevano scoperto l'esistenza dei numeri primi.

Nel 300 a.C. Euclide dimostrò che sono infiniti.

Sembra una strambata, ma dovete sapere che nella matematica niente è banale e nessuna affermazione può essere accettata come vera, nè può essere posta a fondamento di qualche teorema, finchè non viene dimostrata.**

Pertanto 'sta dimostrazione di Euclide ha avuto un valore enorme.

Presto ci si accorse che, nella successione dei numeri naturali (ossia: 1, 2, 3, 4 e così via) alcuni numeri primi erano vicinissimi tra di loro, mentre altri erano lontanissimi.

Si pensava che la disposizione dei numeri primi all'interno di questa successione fosse casuale, che non seguisse uno schema.

Nel 1700 Eulero, dimostrando in modo diverso da Euclide che i numeri primi sono infiniti, inizia a scoprire una certa correlazione tra successione di numeri naturali e numeri primi (la "Formula Prodotto di Eulero").

Sveglio Eulero, nè? Era uno che ci vedeva lungo.

Anche se forse è poco carino rivolgersi così a un uomo che...era cieco :-)

Verso la fine dell'800 arriva Gauss, che era convinto che la distribuzione dei numeri primi non fosse affatto casuale.

Per dimostrarlo cosa fa? Inizia a contare i numeri primi, a blocchi di 1000.

Gauss era un personaggino mica male: era in grado di scomporre in fattori primi un blocco di 1000 numeri...in 15 minuti O_o Bravino il ragazzo, nè?

Ebbene, Gauss si accorse che i numeri primi non erano buttati lì a muzzo, ma seguivano un certo schema che seppe pure rappresentare in una formula.

Cap. 3: Riemann e la sua Ipotesi

Ed ecco che arriva "il guastafeste".

Uno dei discepoli di Gauss era un certo Riemann.

Costui, lavorando sui numeri primi a partire dagli studi di Gauss ed Eulero, affinò il lavoro del suo maestro, sistemando i numeri primi in una funzione matematica.

Si chiama "Funzione Zeta di Riemann".

Come vedete è una roba stranissima, a più dimensioni. Sembra un mare in tempesta (o il mio stomaco dopo il pranzo di Natale coi parenti. Quei pranzi dove ti siedi a mezzogiorno e ti alzi alle 7 di sera).

Ebbene, Riemann, studiando questo mostro, si rese conto che i valori per cui questa funzione va a zero (gli "zeri" della funzione) stavano tutti sulla stessa retta. ***

E allora cosa viene in mente allo scassaminchia?

Enuncia un'ipotesi.

Secondo Riemann, gli zeri della funzione Zeta stanno tutti sulla stessa retta. Questa retta per cui passano tutti gli zeri va all'infinito.

Tuttavia Riemann non riesce a dimostrare quest'ipotesi (Hai capito? Lancia il sasso e nasconde la mano :-) ).

Scherzi a parte, studiare questa ipotesi è molto importante in matematica e non solo. Di recente è stata usata anche in fisica per spiegare alcuni fenomeni di meccanica quantistica.

Cap 4: Il bomberismo dei numeri primi

Quest'ipotesi ha ossessionato e mandato fuori di senno le più grandi menti matematiche da 200 anni a questa parte.

Ci hanno provato tutti, ma non ci è ancora riuscito nessuno.

Uno che si avvicinò a dimostrarla fu Harold Hardy, all'inizio del 900.

Egli dimostrò che gli zeri di Riemann sono infiniti.

E voi direte "yeeee! È fatta!". "Yeee" un cavolo. Hardy dimostrò che sono infiniti, ma non che stanno tutti sulla stessa retta. Però fu già un passo in avanti.

Comunque Hardy era un bomber, un personaggino appena-appena eccentrico :-)

Era ateo, ma viveva un ateismo tutto suo...

...Quando andava ad assistere alle partite di cricket, Hardy si portava dietro un ombrello e i suoi libri di matematica, perchè, a suo dire, se Dio avesse visto che era pronto per la pioggia, allora non avrebbe mai fatto piovere...

Inoltre Hardy aveva paura di viaggiare in treno. Un giorno, prima di partire, spedì una lettera ad un amico scrivendo che era riuscito a dimostrare l'ipotesi di Riemann. Questo perchè (sempre secondo Hardy) se Dio l'avesse fatto morire durante il viaggio, tutta l'umanità avrebbe creduto che ce l'aveva fatta, e Dio non avrebbe potuto permetterlo...

Poi Hardy era il mentore di un altro bomber. Questi si chiamava Srinivasia Ramanujan.

Era un tipo ordinario, come tutti gli altri, nè...

...Infatti giunse alle stesse conclusioni di Gauss, Hardy e Riemann ma...da autodidatta...

...Senza mai aver aperto un libro di matematica O_o

Sosteneva che i risultati glieli dicesse la Dea Kali, mostrandoglieli sulla punta della lingua...

Vabbè, torniamo a noi.

Quindi, nonostante gli immani sforzi, nessuno è riuscito a dimostrare 'sta benedetta ipotesi di Riemann.

Cap. 5: The Imitation Game (Director's Cut) e il "fallimento" di Touring

A un certo punto arriva Alan Touring, e, che cavolo, ci prova anche lui a dimostrarla.

Touring era un bomber pure lui, e utilizza un approccio diverso da tutti gli altri.

Difatti, per dimostrare l'ipotesi, inventa e costruisce una macchina.

Nonostante la sua prodigiosa invenzione, Touring non riuscì mai a dimostrare l'ipotesi di Riemann.

Pertanto possiamo dire che quella macchina fallì il suo scopo.

Cap. 6: Applicazioni dei numeri primi

Nonostante avesse fallito la dimostrazione...l'invenzione di Touring fu la base per decifrare i messaggi in codice dei nazisti (codificati con la macchina Enigma), dando un contributo determinante per la vittoria degli alleati nella seconda guerra mondiale.

Inoltre...quella macchina è stata nientemeno che...l'archetipo del computer.

C'è dell'altro...Lo sapete come funziona il sistema di sicurezza nelle transazioni in internet?

Numeri primi, of course ;-)

E' un sistema di crittografia a "chiave pubblica". Ci sono due chiavi, ossia due parti del codice.

Queste due chiavi sono numeri primi, ad esempio 311 e 557. Le chiavi sono segrete, ce le ha solo la banca (o chi per essa).

Cosa si fa quindi? Si moltiplicano tra loro i due numeri "segreti" e si ottiene un numerone (311 x 557 = 173227). Questo numero è la chiave pubblica.

Per decifrare il codice, se non si conoscono i due numeri di partenza, un ladro informatico dovrebbe fattorizzare quel numerone lì e ottenere i due numeri di partenza.

Ebbene, quest'operazione è proibitiva da fare con carta e penna. Non ci riesce nessuno.

Ma.....il bello è che è un'operazione proibitiva anche da fare con un computer! E' (quasi) impossibile.

Ecco come, grazie ai numeri primi, le transazioni online sono sicure ;-)

Cap. 7: E se la dimostrassimo quest'ipotesi?

Che succederebbe se domani arrivasse un matematico e riuscisse a dimostrare l'Ipotesi di Riemann? Succederebbero tre cose:

1) Innanzitutto il matematico vincerebbe il premio Nobel.****

2) In secondo luogo il matematico diventerebbe ricco, perchè l'Ipotesi di Riemann è uno dei cosiddetti "problemi del millennio", per la soluione dei quali l'Istituto Clay di Cambridge ha stanziato un premio di un milione di dollari.

3) In terzo luogo, sarebbe un casino.

Infatti, se fosse dimostrata l'ipotesi di Riemann è possibile che si trovi un modo semplice di fattorizzare numeri molto grandi.

Ma...questo vuol dire che diventerebbe possibile decifrare le chiavi pubbliche con facilità!Un developer potrebbe sviluppare un algoritmo in grado di farlo e...

...Puff! Le transazioni online diventerebbero il far west della clonazione della carta!

Quindi dovremmo inventarci ALLA SVELTA un metodo più sicuro di quello basato sui numeri primi (il quale è uno dei più impenetrabili...).

Quindi, semmai qualcuno dimostrasse l'ipotesi di Riemann....ci pensi due volte prima di rivelarlo al mondo! :-)

E voi?

Che fareste se foste voi a dimostrare l'ipotesi di Riemann?

Scegliereste la gloria imperitura e il milione di dollari, o vi terreste la scoperta per voi?

Attenti, c'è il trucco.

Innanzitutto non ve ne fate niente di un milione di dollari, se poi, in "tempozzero", ve li ciucciano dal conto, eheheh :-)

Inoltre...Non vi sentireste appagati già sapendo di avercela fatta? Di essere riusciti dove nemmeno le più grandi menti degli ultimi 200 anni sono arrivate?

Forse non è necessario che gli altri lo sappiano (e men che meno che ve lo dicano) per sapere che siete il migliore ;-)

Io non lo so cosa farei. Ma tanto il problema non me lo pongo...sicuramente non sarò io, eheheh.

Con questo vi saluto

Un abbraccio

Santiago

Note:

* Per esempio, il numero 12 può essere espresso come 12 = 2 x 2 x 3.

** A mio avviso questo non dovrebbe valere solo per la matematica...

*** Io ve l'ho fatta facile, sennò non si capisce niente e mi sfuma la vena narrativa del racconto :-)

...Un'altro modo di formulare l'ipotesi è: gli zeri non banali della funzione Zeta hanno tutti parte reale uguale a 1/2.

Dico parte reale perchè per capire la funzione Zeta bisogna avere dimestichezza coi numeri complessi. I numeri complessi sono quelli che hanno una parte reale e una immaginaria.

**** Anzi, no...non esiste il premio Nobel per la matematica! Magari riescono a "farla sporca" e lo fanno passare come Nobel per l'economia o per la fisica...in passato è stato fatto così per dare il Nobel a dei matematici. Che vi pensate? Mica solo noi Italiani siamo esperti nell' "aumm aumm" :-)

Comunque esiste la "Medaglia Fields" che è considerato il corrispettivo del Nobel nel campo della matematica.